El número áureo o Phi

¿Cómo obtener el número Phi?

El número phi (se pronuncia "número fi") también denominado número áureo ha sido utilizado en las bellas artes como la arquitectura o la pintura y aparece también en las plantas, los animales y el universo.

  En esta página expongo varias formas de obtener el número áureo gracias a la geometría y las matemáticas.

Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo

  Para obtener el número áureo en un cuadrado se traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número áureo.

  Partiendo de un cuadrado que mida dos de lado, el segmento Phi (Φ) mide 1 + el diámetro del arco. Según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.

  2² + 1² = 5 --> la hipotenusa es igual a √5.

  Al que sumo 1 para completar el segmento y obtengo el valor de phi para dos, por lo tanto lo divido por dos.

  (√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034...

   He hecho un redondeo a 6 cifras después de la coma, este número es infinito. Aplicare este redondeo en las siguientes operaciones.

 

Phi a partir de triangulo rectángulo

  Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E.

  Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D.

  Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1.

 

Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo

  Se dibuja un circulo partido por su diametro (color verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A y B) que intersequen con el mismo semicírculo.

  Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es igual a Phi.

 

Phi a partir de círculos concéntricos

  Se traza dos círculos (color verde) con el mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el di ámetro de uno de ellos sea el doble del otro.

  Se desplaza estos dos círculos cambiando su centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos círculos concéntricos (color morado).

  Los dos círculos de diámetro pequeño se intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ.

 

 

Phi a partir de un pentágono

  En el primer pentágono ABCDE, trazo una línea AD y otra BE que se cruzan en F, si BF es igual a uno BE es igual a Phi.

  En el segundo pentágono ABCDE trazo líneas desde cada esquina hasta sus dos esquinas opuestas obteniendo otro pentágono FGHIJ. Si AG es igual a 1, AB es igual a phi y FG al inverso de Phi: 1/ Φ.

 

Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo

  En la siguiente tabla dividiendo el valor de arriba por el de abajo el resultado es Phi:

  Se dibuja un triángulo isósceles ABC inscrito en un círculo. Los centros de los lados del triángulo son DEF. Se traza una línea que pasa por el centro de dos lados del triángulo llevándola hasta el círculo en el punto G. Si la medida FE es uno, FG es phi.

  En el siguiente dibujo, trazo una línea desde C hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H.

  La línea CG cruza AB en K. Desde K trazo otra línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I.

  Perpendicularmente a IK trazo una línea que cruza FB en J y va hasta la línea CB en M.

  Desde M trazo una línea paralela a IK que cruza CG en N y llega hasta AC en el punto O.

 

Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo

   Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero.

   El punto de intersección del primer círculo con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC.

   AB se interseca con el segundo círculo en dos puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según Pit ágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos:

   2² + 1² = 5 --> la hipotenusa

a es igual a v5.

Recapitulemos:

AB= v5

BC= 2

CA= 1

DE= 1

 

   Ahora vamos a ver donde se encuentra Phi:

AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034... (Phi)

AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… (1/Phi)